Statistik I, Vorlesung 5 – Konfidenzintervalle
Eine Vorlesung über Konfidenzintervalle für einen Mittelwert: was das Intervall aussagt, wie man es aus einer Stichprobe berechnet und warum ein 95-%-Intervall keine 95-prozentige Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass der wahre Mittelwert darin liegt.
Zusammenfassung
Dr. Martens wiederholte Stichprobenverteilung und Standardfehler und leitete dann Schritt für Schritt das 95-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert her. Sie rechnete ein Beispiel mit 36 Lieferzeiten durch, zeigte, wie das Intervall mit wachsender Stichprobe schmaler wird, und widmete der häufigsten Fehlinterpretation des Konfidenzniveaus zehn Minuten. Aus dem Publikum kamen Fragen zu kleinen Stichproben und dazu, wann man 99 % statt 95 % verwendet. Übungsblatt 5 ist bis zur nächsten Vorlesung abzugeben.
Teilnehmer
- Dr. Helena Martens – Dozentin
- Samuel Ortmann – Student
- Aylin Demir – Studentin
Agenda
- Wiederholung: Stichprobenverteilung und Standardfehler
- Das 95-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert
- Rechenbeispiel: Lieferzeiten
- Stichprobengröße und Breite des Intervalls
- Wie man ein Konfidenzniveau richtig deutet
Aufgaben
| Verantwortlich | Aufgabe | Frist |
|---|---|---|
| Alle Studierenden | Übungsblatt 5, Aufgaben 1–8 lösen | Vor Vorlesung 6 |
| Alle Studierenden | Abschnitte 8.1–8.3 im Lehrbuch lesen | Vor Vorlesung 6 |
| Dr. Helena Martens | Folien und den Datensatz mit den Lieferzeiten auf der Kursseite hochladen | — |
Lernziele
- Erklären können, was ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert aussagt – und was nicht.
- Ein 95-%-Konfidenzintervall aus einer Stichprobe berechnen.
- Verstehen, wie die Stichprobengröße die Breite des Intervalls verändert.
Schlüsselbegriffe
| Begriff | Erklärung |
|---|---|
| Standardfehler | Die Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts: SE = s / √n, wobei s die Standardabweichung der Stichprobe und n der Stichprobenumfang ist. |
| 95-%-Konfidenzintervall | Stichprobenmittelwert ± 1,96 × SE bei großen Stichproben: der Bereich von Werten für den Mittelwert der Grundgesamtheit, die mit der Stichprobe vereinbar sind. |
| Konfidenzniveau | Wie oft so konstruierte Intervalle über viele Stichproben hinweg den wahren Mittelwert enthalten – nicht die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Intervall ihn enthält. |
| Fehlermarge | Die halbe Breite des Intervalls, 1,96 × SE. Ein viermal so großer Stichprobenumfang halbiert sie. |
Beispiele
- 36 Lieferzeiten, Mittelwert 42 Minuten, Standardabweichung 9 Minuten: SE = 9 / 6 = 1,5; 95-%-Intervall = 42 ± 1,96 × 1,5 = 39,1 bis 44,9 Minuten.
- Gleicher Mittelwert und gleiche Standardabweichung bei 144 Lieferungen: SE = 9 / 12 = 0,75, Fehlermarge 1,47, Intervall 40,5 bis 43,5 Minuten.
Häufige Fehler
- Zu sagen, der wahre Mittelwert liege mit 95 % Wahrscheinlichkeit in genau diesem Intervall.
- Bei sehr kleinen Stichproben 1,96 statt der t-Verteilung zu verwenden.
- Die Standardabweichung der Daten mit dem Standardfehler des Mittelwerts zu verwechseln.
Fragen aus dem Publikum
- F: Was, wenn die Stichprobe klein ist, etwa 10 Beobachtungen? (gefragt von Samuel Ortmann)
- A: Dann nimmt man statt 1,96 die t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden; das Intervall wird breiter. Das ist Thema von Vorlesung 6.
- F: Wann sollte man 99 % statt 95 % verwenden? (gefragt von Aylin Demir)
- A: Wenn ein Fehlschluss teuer wäre. Das Intervall wird breiter: 2,58 × SE statt 1,96 × SE.
Nächstes Meeting
Vorlesung 6, nächsten Dienstag um 9:00 Uhr – die t-Verteilung und kleine Stichproben.